APROXIMAÇÃO DE CURVAS PELO

MÉTODO DE MÍNIMOS QUADRADOS

Elaborado por Sergio Bastos

É utilizado para determinar a função de uma curva f(x) que represente uma região de variáveis obtidas com menor erro possÃvel.

Figura 1 – Plano cartesiano onde foram plotados pontos com os valores obtidos ( y_i ) a partir das variáveis x_i e esboçada uma curva aproximada representada pela função f(x).

A tabela abaixo apresenta as variáveis de entrada, os valores obtidos, os valores determinados pela função aproximada, o errro aproximado e o quadrado do erro aproximado (para evitar números negativos). Apresenta também a expressão E, que sendo o somatório dos quadrados dos erros, deve ter o menor valor possÃvel.

Variáveis de entrada	Valores obtidos	Função a determinar	Erro aproximado	Quadrado do Erro aproximado
Xi	Yi	F(Xi)	δ i = Yi - F(Xi)	(δ i ) ^2= (  Yi - F(Xi) ) ^2
X1	Y1	F(X1)	δ 1  = Y1 - F(X1)	(δ 1  ) ^2= (  Y1 - F(X1) ) ^2
X2	Y2	F(X2)	δ 2  = Y2 - F(X2)	(δ 2  ) ^2= (  Y2 - F(X2) ) ^2
X3	Y3	F(X3)	δ 3  = Y3 - F(X3)	(δ 3  ) ^2= (  Y3 - F(X3) ) ^2
: : :	: : :	: : :	: : :	: : :
Xn	Yn	F(Xn)	δ n  = Yn - F(Xn)	(δ n  ) ^2= ( Yn - F(Xn) ) ^2
Somatório dos quadrados dos erros Ã				E = ∑ (δ i ) ^2= ∑ (  Yi - F(Xi) ) ^2

Deve-se escolher uma função para modelar a curva aproximada, a qual terá a equação caracterÃstica aplicada na F(Xi) da expressão E para a determinação dos parâmetros a,b,c,d... (ou a_0, a₁, a_2, a₃,....) que definem o formato da curva atendendo o menor valor de E.

A tabela abaixo apresenta as equações caracterÃsticas de algumas curvas e o resultado da aplicação de F(Xi) na expressão E

curva	equação caracterÃstica	Resultado da aplicação de F(Xi) na expressão E
Reta	F(X) = a.X + b	E = ∑ (δ i ) ^2= ∑ (  Yi - a.Xi - b ) ^2
parábola	F(X) = a.X^2 + b. X + c	E = ∑ (δ i ) ^2= ∑ (  Yi - a.Xi ^2 - b. Xi - c) ^2
Polinomial 3º grau	F(X) = a.X^3 + b. X^2 + c. X + d	E = ∑ (δ i ) ^2= ∑ (  Yi - a.Xi^3 - b. Xi^2 - c. Xi - d) ^2
exponencial	F(X) = a.e^bX + c	E = ∑ (δ i ) ^2= ∑ (  Yi - a.e^bXi - c) ^2
Senóidal	F(X) = a.sen(bX) + c	E = ∑ (δ i ) ^2= ∑ (  Yi - a.sen(bXi) - c) ^2

Para que E seja mÃnimo, as primeiras condições a serem verificadas são:

* ∂ E/ ∂a =0

* ∂ E/ ∂b =0

* ∂ E/ ∂c =0

* ∂ E/ ∂d =0

* ∂ E/ ∂.... =0

Com estas equações, formou-se um sistema para calcular os valores de a,b,c, d... da função aproximada F(X)

EXEMPLO: Dados os pontos da curva abaixo, aproxime-os a uma parábola.

Substituindo na fórmula, temos:

E = ∑ (δ i ) ² = ∑ (  Yi - a.X_i ² - b. X_i - c) ²

E = ( 18 - a.(-3) ² - b.(-3) - c) ² + ( 10 - a.(-2) ² - b.(-2) - c) ² + (  2 - c) ²+ ( 2 - a.3 ² - b. 3 - c) ²+ ( 5 - a.4 ² - b. 4 - c) ²

Fazendo ∂ E/ ∂a =0, temos:

-18( 18 - a.(-3) ² - b.(-3) - c) - 8( 10 - a.(-2) ² - b.(-2) - c)  -18( 2 - a.3 ² - b. 3 - c) - 32( 5 - a.4 ² - b. 4 - c) = 0

-324 – 80 – 36 – 160 + a .(162 + 32 + 162 + 512) + b.(-54 - 16 + 54 + 128) + c.(18 + 8 + 18 + 32) = 0

868.a + 112.b + 76.c -600 = 0

Eq. 1

Fazendo ∂ E/ ∂b =0, temos:

+6.( 18 - a.(-3) ² - b.(-3) - c) + 4.( 10 - a.(-2) ² - b.(-2) - c) – 6.( 2 - a.3 ² - b. 3 - c) – 8.( 5 - a.4 ² - b. 4 - c) = 0

108 + 40 –12 – 40 + a .(-54 – 16 + 54 + 128) + b.(18 + 8 + 18 + 32) + c .(-6 – 4 + 6 + 8) = 0

112.a + 76.b + 4.c + 96 = 0

Eq. 2

Fazendo ∂ E/ ∂c =0, temos:

-2( 18 - a.(-3) ² - b.(-3) - c) - 2( 10 - a.(-2) ² - b.(-2) - c) -2(  2 - c) -2( 2 - a.3 ² - b. 3 - c) - 2( 5 - a.4 ² - b. 4 - c) = 0

-36 – 20 – 4 – 4 – 10 + a .(18 + 8 + 18 + 32) + b.(- 6 – 4 + 6 + 8) + c.(2 + 2 + 2 + 2 + 2)

76.a + 4.b + 10.c –74 = 0

Eq. 3

Resolvendo o sistema

868.a + 112.b + 76.c = 600 112.a +   76.b +   4.c =   96   76.a +     4.b + 10.c =   74

, temos:

 a =   0,873  b = -2,650  c =   1,825

Substituindo, a função aproximada fica:

F(X) = 0,873.X²  -2,650. X + 1,825