аЯрЁБс>ўџ 02ўџџџ/џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџьЅСq`№ПKbjbjqPqP.::K џџџџџџЄЄЄЄЄЄЄЄИ€€€€ Œ ИэЖЄЄЄЄЄЄЄЄlnnnnnn$Ѓh J’ЄЄЄЄЄЄ’ЄЄЄЄЇDDDЄjЄЄЄЄlDЄlDDЄЄDЄ˜ `Sђмшœв€DlН0эDU $ U DU ЄD(ЄЄDЄЄЄЄЄ’’.ЄЄЄэЄЄЄЄИИИddИИИИИИЄЄЄЄЄЄџџџџ Resumo O cсlculo de distтncias geodщsicas щ um importante tѓpico de pesquisa no processamento de geometria e anсlise de formas em malhas, pois щ um componente bсsico de muitos mщtodos usados nessas сreas. Diferentes abordagens tъm sido propostas para calcular distтncias geodщsicas incluindo mщtodos exatos e aproximados. Mщtodos aproximados sуo em muitos casos a melhor escolha, pois sуo mais eficientes do que os mщtodos exatos e, ao mesmo tempo, produzem resultados prѓximos da distтncia exata. Muitos mщtodos tъm sido propostos para o cсlculo de distтncias geodщsicas aproximadas, por exemplo, variaчѕes do mщtodo Fast Marching e mais recentemente por mщtodos espectrais e de fluxo de difusуo. Estas abordagens sуo muito eficientes para a consulta da distтncia, mas geralmente dependem de uma etapa de prщ-processamento que pode ser computacionalmente intensa. Neste trabalho, apresentamos um algoritmo paralelo iterativo para calcular distтncias geodщsicas aproximadas em malhas que nуo requer nenhum passo de prщ-processamento. A convergъncia do algoritmo iterativo proposto depende do nњmero de anщis em torno dos pontos de origem, a partir dos quais a informaчуo da distтncia se propaga. Assim, nosso mщtodo щ particularmente eficiente para a computaчуo de distтncias geodщsicas de mњltiplas fontes. Nos experimentos, mostramos como nosso mщtodo escala com o tamanho do problema e comparamos seu erro mщdio e os tempos de processamento com os de outros mщtodos encontrados na literatura. Tambщm demonstramos seu uso para resolver dois problemas comuns de processamento de geometria: o problema de amostragem regular e a tesselaчуo de Voronoi em malhas. Palavras-chave: marcha rсpida; distтncia geodщsica; malhas triangulares; modelos tridimensionais. Abstract The computation of geodesic distances is an important research topic in geometry processing and shape analysis on meshes as it is a basic component of many methods used in these areas. Different approaches have been proposed for computing geodesic distances including exact methods and approximate ones. Approximate methods are in many cases the best choice as they are more efficient than the exact methods and yield results that are not far from the optimum distance. Many methods have been proposed for approximate geodesic distance computation, for instance, variations of the Fast Marching method and more recently by spectral and diffusion flow-based methods. These approaches are very efficient for distance query but usually depend on a pre-processing step which can be computationally intensive. In this work, we present an iterative parallel algorithm for computing approximate geodesic distances on meshes that do not require any preprocessing step. The convergence of our iterative algorithm depends on the number of rings around the source points from which distance information propagates. Hence, our method is particularly efficient for multisource geodesic distance computation. In the experiments, we show how our method scales with the size of the problem and compare its mean error and processing times with such measures computed with other methods found in the literature. We also demonstrate its use for solving two common geometry processing problems: the regular sampling problem and the Voronoi tessellation on meshes. Keywords: fast marching; geodesic distance; triangular meshes; tridimensional models. ŽрстъыьGH—˜эюABš›ёђEFš›ђѓIJІЇ№ёFGЊЋѕіJKЄЅєѕў3IJKѓъѓцоцкцЪНЪВЊВЊВЊВЊВЊВЊВЊВЊВЊВЊВЊВЊВЊВЊВЊВЊВЊВЊžЊВЊВh­Y@h­Y@5mH sH h­Y@mH sH h­Y@h­Y@mH sH h­Y@5CJaJmH sH h­Y@h­Y@5CJaJmH sH h>Зh­Y@h­Y@5h­Y@h­Y@5CJaJh­Y@h­Y@5CJaJ4~стыьєѕKњњђњњњњњђњњ$a$gd­Y@gd­Y@ K§,1hА‚. 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