Defesa de Dissertação de Mestrado de André Luiz Portes Abicaram Nazareth Campos, 25/08/25, 9h, por videoconferência
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Simulação de Escoamento de Stokes em Imagens com Elementos Finitos Quadráticos sem Matriz
Resumo:
A estimativa precisa da permeabilidade de meios porosos é fundamental para diversas aplicações de interesse da indústria, como na exploração de reservatórios, no transporte de fluidos em rochas e no estudo de tecidos biológicos. Neste trabalho, é apresentada uma abordagem numérica para o cálculo da permeabilidade em meios porosos bidimensionais baseada na simulação de escoamento de Stokes, utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF) com elementos quadráticos aplicados diretamente em imagens segmentadas de microtomografia computadorizada. A técnica do MEF baseado em pixels permite representar fielmente a geometria do meio imageado sem a necessidade de regerar malhas. A formulação adotada utiliza elementos quadráticos para a velocidade e lineares descontínuos para a pressão, garantindo estabilidade segundo a condição de Ladyzhenskaya–Babuška–Brezzi, sem a necessidade de técnicas de estabilização. A implementação é baseada em uma abordagem sem matriz, na qual as operações que envolvem a matriz global do sistema de equações, como o produto matriz-vetor, são realizadas dinamicamente, dispensando o armazenamento explícito dessa matriz. Essa estratégia foi paralelizada de forma massiva em GPU, atribuindo a cada thread o cálculo da contribuição local de um elemento, o que reduz significativamente o uso de memória e permite simulações em larga escala mesmo em estações de trabalho com GPUs de uso geral. A validação foi realizada por meio da comparação com soluções analíticas conhecidas e com formulações convencionais que utilizam elementos com funções de forma lineares. Os resultados mostram que o uso de elementos quadráticos apresenta melhor desempenho na representação de canais estreitos e poros isolados, comuns em imagens de meios porosos reais, reduzindo a necessidade de refino de malha e garantindo maior fidelidade física.
Abstract:
Accurate estimation of permeability in porous media is essential for various industrial applications, such as in reservoir exploration, in fluid transport in rocks, and in the study of biological tissues. This work presents a numerical approach for calculating permeability in two-dimensional porous media based on simulations of the Stokes flow using the Finite Element Method (FEM) with quadratic elements applied directly to segmented images from micro-computed tomography. The technique known as Pixel-Based FEM enables faithful representation of the medium’s geometry without mesh regeneration. The adopted formulation uses quadratic elements for velocity and discontinuous linear elements for pressure, ensuring stability according to the Ladyzhenskaya–Babuška–Brezzi condition, without requiring stabilization techniques. The implementation follows a matrix-free strategy, where operations involving the global system matrix, such as the matrix-vector product, are performed dynamically, avoiding the explicit storage of the matrix. This strategy was massively parallelized on the GPU, assigning each thread to compute the local contribution of a single element, significantly reducing memory usage and enabling large scale simulations even on workstations equipped with general purpose GPUs. Validation was carried out through comparison against known analytical solutions and conventional formulations using linear shape functions. The results show that using quadratic elements offers superior performance in representing narrow channels and isolated pores, common features in images of porous media, reducing the need for mesh refinement and providing greater physical fidelity.
Banca examinadora:
Prof. André Maues Brabo Pereira, UFF – Presidente
Prof. Pedro Cortez Fetter Lopes, UFF
Prof. Ricardo Leiderman, UFF
Prof. Roney Leon Thompson, UFRJ